高一数学期中 · 三张详解卷（原卷 + 两套变式）

1设全集 U={x | x 是小于 9 的正整数}，A={2,4,6}，求 ∁_UA 的元素个数。

知识点集合的补集运算、有限集元素个数。

思路与步骤

把描述法列举出来：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以 n(U)=8。
A={2,4,6}，所以 n(A)=3。
∁_UA 是 U 中不属于 A 的元素：∁_UA={1,3,5,7,8}。
数个数：共 5 个；也可用 n(∁_UA)=n(U)−n(A)=8−3=5。

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答案：C

2命题 p：∀x∈ℝ，|x+1|>1；命题 q：∃x>0，x³=x。判断 p、q 及否命题的真假。

知识点全称量词命题、存在量词命题的真假判断与否定。

思路与步骤

判 p：要找让 |x+1|>1 失败的值，即 |x+1|≤1。取 x=−1：|−1+1|=|0|=0，而 0≤1，不满足“>1”。所以 p 是假命题，¬p 是真命题。
判 q：解 x³=x，移项得 x³−x=0，因式分解 x(x²−1)=0，即 x(x−1)(x+1)=0，得 x=0,1,−1。其中 x=1 满足 x>0，所以存在这样的正数，q 是真命题。
结论：¬p 真、q 真。

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答案：B

3某同学走路去学校，出发后加速行走一段，发现时间充裕便放慢脚步。离家距离与行走时间的关系图像最吻合的是？

知识点函数建模、图像与实际情境对应（斜率 = 速度）。

思路与步骤

人一直在往学校走，离家距离只会增加，不会减少，所以横轴上方那条曲线必须整体上升，先排除有下降段的 D。
“加速行走”说明速度变大，图像的斜率（陡峭程度）越来越高；“放慢脚步”说明速度变小，斜率变缓，但仍为正（还在往前走）。
逐项看：A 的斜率一直增大，表示一直加速，没有放慢；B 先直线上升后水平，表示匀速后停下；C 先变陡后变缓、整体仍上升，符合“先快后慢”；D 有上升—下降—上升，表示往回走，不符。
所以只有 C 吻合。

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答案：C

4幂函数 y=f(x) 的图像过点 P(8,4)，则 y=f(x−1) 的图像关于什么对称？

知识点幂函数解析式、图像平移与对称性。

思路与步骤

幂函数设为 f(x)=x^α。图像过 P(8,4)，代入：8^α=4。
把 8 写成 2³：2^3α=2²，所以 3α=2，α=2/3。
得 f(x)=x^2/3。验证奇偶性：f(−x)=(−x)^2/3=(x²)^1/3=x^2/3=f(x)，是偶函数，图像关于 y 轴（直线 x=0）对称。
y=f(x−1) 表示把 y=f(x) 的图像向右平移 1 个单位，对称轴也跟着右移 1，变成直线 x=1。

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答案：A

5f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，x≤0 时 f(x)=x(1−x)，求 x>0 时 f(x)。

知识点奇函数性质、利用对称性求解析式。

思路与步骤

设 x>0，要把它转到已知区间：此时 −x<0，可以代 x≤0 的表达式。
代入 f(x)=x(1−x)：f(−x)=(−x)·[1−(−x)]=(−x)(1+x)=−x(1+x)。
f 是奇函数，满足 f(x)=−f(−x)，所以 f(x)=−[−x(1+x)]=x(1+x)。
结论：x>0 时 f(x)=x(1+x)。

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答案：D

6f(x) 定义在 ℝ 上，对任意 x,y 有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x>0 时 f(x)>0。判断 f(x) 的奇偶性与单调性。

知识点抽象函数（赋值法）判断奇偶性与单调性。

思路与步骤

① 令 x=y=0，代入 f(x+y)=f(x)+f(y)：f(0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=2f(0)，移项得 f(0)=0。
② 令 y=−x，代入得 f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，即 f(0)=f(x)+f(−x)。因 f(0)=0，所以 f(x)+f(−x)=0，即 f(−x)=−f(x)，f 为奇函数。
③ 设 x₁<x₂，则 x₂−x₁>0，由题设“x>0 时 f(x)>0”，有 f(x₂−x₁)>0。
把 x₂ 拆成 (x₂−x₁)+x₁，用原式：f(x₂)=f[(x₂−x₁)+x₁]=f(x₂−x₁)+f(x₁)。
移项：f(x₂)−f(x₁)=f(x₂−x₁)>0，即 f(x₂)>f(x₁)。由 x₁<x₂ 的任意性，f 在 ℝ 上单调递增。

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答案：A

7命题 p：∀x∈(0,+∞)，x²+(3−a)x+1≥0。则 p 为真命题的一个充分不必要条件是？

知识点不等式恒成立、充分条件与必要条件。

思路与步骤

对 x>0，不等式两边同除以正数 x（不等号方向不变）：x+(3−a)+1x≥0。
移项，把含 a 的项单独放一边：a−3≤x+1x。
由基本不等式：x+1x≥2√x·1x=2，当且仅当 x=1x 即 x=1 时取等，所以右边的最小值是 2。
要“a−3≤右边”恒成立，只需 a−3≤2，即 a≤5。所以 p 真 ⟺ a≤5。
“充分不必要”：要选一个条件，它能推出 a≤5，但反过来推不出。
A：a≥1 推不出 a≤5（如 a=6 不满足），排除；
C：a≤5 与 p 等价，是充要条件，不是“充分不必要”，排除；
D：a≤6 推不出 a≤5，排除；
B：a≤4 ⇒ a≤5，且 a=5 满足 p 却不满足 a≤4，所以 a≤4 是充分不必要条件。

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答案：B

8可变化图点 A(1,1)、B(2,2)，抛物线 y=ax²+bx+1（a≠0）与线段 AB 相切，求 b²−2a 的取值范围。

知识点二次函数与直线相切、判别式、参数范围。

思路与步骤

先求线段 AB 所在直线：A(1,1)、B(2,2) 满足 y=x，且线段对应 x∈[1,2]。
“相切”就是抛物线与直线 y=x 只有一个公共点。联立：ax²+bx+1=x，整理得 ax²+(b−1)x+1=0。
相切 ⟺ 该二次方程有重根 ⟺ 判别式 Δ=0：Δ=(b−1)²−4a=0，得 a=(b−1)²4（因 a≠0，故 b≠1）。
切点横坐标（重根）x₀=−b−12a=1−b2a。把 a 代入：x₀=1−b(b−1)²/2=2·1−b(b−1)²=21−b。
切点必须落在线段上，即 1≤x₀≤2：1≤21−b≤2。
因为 x₀>0，所以 1−b>0，即 b<1（若 1−b<0 则 x₀<0，不可能是正数）。
左边：21−b≥1 ⇒ 1−b≤2 ⇒ b≥−1；
右边：21−b≤2 ⇒ 1−b≥1 ⇒ b≤0。
合并得 b∈[−1,0]。
化简目标式：b²−2a=b²−2·(b−1)²4=b²−(b−1)²2=2b²−(b²−2b+1)2=b²+2b−12。
令 φ(b)=b²+2b−12，b∈[−1,0]。φ(b)=(b+1)²−22，在 [−1,0] 上随 (b+1)² 增大而增大，故单调递增。
φ(−1)=1−2−12=−1；φ(0)=0+0−12=−12。

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答案：C，取值范围 [−1, −½]

9下列说法正确的是？

知识点单调性、最值与值域、图像与 y 轴交点、奇函数性质。

思路与步骤

A：设 x₁<x₂<0，则 −x₁>−x₂>0。f 在 (0,+∞) 递减，输入越大输出越小，所以 f(−x₁)<f(−x₂)。记 g(x)=f(−x)，则 g(x₁)<g(x₂)，g 在 (−∞,0) 上递增。正确
B：最大值 2、最小值 0 只能说明 0≤f(x)≤2，即值域是 [0,2] 的子集。反例：f(x)=0（x<0），f(x)=2（x≥0），值域是 {0,2}，不是 [0,2]。错误
C：定义域为 ℝ，则 x=0 在定义域内，f(0) 是一个确定的数，图像与 y 轴恰交于 (0,f(0)) 一点。正确
D：f 是奇函数，对任意 x 有 f(−x)=−f(x)。令 x=0：f(0)=−f(0)，移项得 2f(0)=0，所以 f(0)=0。正确

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答案：ACD

10下列等式恒成立的是？

知识点根式与分数指数幂互化、指数幂运算法则。

思路与步骤

A：√a²=|a|。当 a<0 时 |a|=−a≠a，所以不恒成立。错误
B：√a·∛a=a^1/2·a^1/3=a^1/2+1/3=a^5/6。又条件为 a∈ℝ，当 a<0 时 √a 在实数范围无意义，所以不能对一切 a 成立。错误
C：按同底幂乘除、指数相加减。a 的指数：23+12−16=4+3−16=1；b 的指数：14+12−34=1+2−34=0。所以结果为 a¹b⁰=a。正确
D：a<0，则 −a>0、−1a=1−a>0。所以 √−1/a=√1/(−a)=1√−a。两边乘 a：a√−1/a=a√−a。又 a=−(−a)=−√−a·√−a，所以 a√−a=−√−a。正确

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答案：CD

11A={1,2,3,4}，B、C 是非空真子集且 B∩C=∅。若对任意 a∈A，存在 b∈B、c∈C 及 λ,μ∈{0,1} 使 a=λb+μc，称 (B,C) 为 A 的一组“基底集”。判断各选项组数。

知识点集合新定义、子集与集合运算（分类讨论）。

思路与步骤先翻译定义：λ,μ 只能取 0 或 1，所以 a=λb+μc 只可能是 0、b、c、b+c 这四种。因为 a∈A 都是正数，0 没用，所以 A 中每个元素都要等于某个 b∈B、或 c∈C、或 b+c。下面逐个固定 B 枚举 C：

A：B={3,4}，则 C⊆{1,2} 且非空。
3、4 由 B 提供；1 只能靠 c=1（b+c 最小是 3+1=4），故 1∈C；2 只能靠 c=2（b+c 最小为 4），故 2∈C。所以 C={1,2}，共 1 组。
B：B={2}，则 C⊆{1,3,4}。
1 必须 ∈C（2+c=1 不可能）；4 必须 ∈C（2+c=4 需 c=2，但 2∉C）；3 可由 2+1 得到（1∈C 已保证）。所以 C 必含 {1,4}，3 可去可留：C={1,4} 或 {1,3,4}，共 2 组。
C：B={1,3}，则 C⊆{2,4}。
2 必须 ∈C（1+c、3+c 都凑不出 2）；4 必须 ∈C（1+c=4 需 c=3∉C，3+c=4 需 c=1∉C）。所以 C={2,4}，只有 1 组，题称 2 组，错误。
D：B={1}，则 C⊆{2,3,4}。
2 必须 ∈C（1+c=2 需 c=1∉C）；3 可由 1+2 得到；4 需 4∈C 或 1+c=4 即 c=3∈C。所以 C 必含 2，再含 3 或 4：C={2,3}、{2,4}、{2,3,4}，共 3 组。

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答案：ABD

12f(x)= { 2^x, x>0 ; x+3, x≤0 }，若 f(a)+f(1)=3，求 a。

知识点分段函数求值。

思路与步骤

先算 f(1)：1>0，用第一段 f(x)=2^x，得 f(1)=2¹=2。
代入方程：f(a)+2=3，所以 f(a)=1。
分两种情况：
① 若 a>0，用 2^a=1=2⁰，得 a=0，与 a>0 矛盾，舍去；
② 若 a≤0，用 a+3=1，得 a=−2，且 −2≤0 成立。
所以 a=−2。

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答案：−2

13可变化图f(x)=x²−(a−5)x+a 在 (0,+∞) 上递增，且 f(x)x 在 (0,2) 上递减，求 a 的范围。

知识点二次函数单调性、分式型（对勾函数）单调性。

思路与步骤

① 分析 f(x)：开口向上，对称轴 x=a−52。开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，要在整个 (0,+∞) 上递增，对称轴必须不在正半轴，即 a−52≤0，解得 a≤5。
② 化简 h(x)=f(x)x=x²−(a−5)x+ax=x−(a−5)+ax。
③ 用单调性定义判断：任取 0<x₁<x₂<2，计算
h(x₁)−h(x₂)=(x₁−x₂)+a(1x₁−1x₂)=(x₁−x₂)+a·x₂−x₁x₁x₂=(x₁−x₂)[1−ax₁x₂]。
④ 要在 (0,2) 上递减，需 h(x₁)>h(x₂)，即 h(x₁)−h(x₂)>0。因为 x₁−x₂<0，所以必须 1−ax₁x₂<0，即 a>x₁x₂ 对一切 0<x₁<x₂<2 成立。
⑤ 当 x₁,x₂→2 时 x₁x₂→4，故需 a≥4。（若 a<4，取靠近 2 的 x₁,x₂ 使 x₁x₂>a，则不递减。）
⑥ 两个条件取交集：a≤5 且 a≥4，即 4≤a≤5。

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答案：[4,5]

14记 minA 为集合 A 中最小数。x,y>0，M=min{3x, 1y, 1x+y}，求 M 的最大值。

知识点max-min 问题、不等式放缩。

思路与步骤

M 是三者中最小的一个，所以 M≤3x、M≤1y、M≤1x+y 同时成立。
先证 M≤2。用反证：假设 M>2，则三项都 >2：
由 3x>2 得 x>23，所以 1x<32；
由 1y>2 得 y<12。
两式相加：1x+y<32+12=2，这与 1x+y>2 矛盾。所以 M≤2。
再说明 2 能取到：令 x=23、y=12，则
3x=3·23=2，1y=11/2=2，1x+y=32+12=2，三项都是 2，M=2。
所以 M 的最大值为 2。

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答案：2

15（13 分）x>0，y>0。（1）比较 x³+y³ 与 xy²+x²y 的大小；（2）若 x+4y=1，求 1x+1y 的最小值。

知识点作差法比较大小、基本不等式（“乘 1 法”）。

思路与步骤

（1）作差：
x³+y³−(xy²+x²y)=x³−x²y+y³−xy²
=x²(x−y)+y²(y−x)=x²(x−y)−y²(x−y)
=(x−y)(x²−y²)=(x−y)²(x+y)。
因为 (x−y)²≥0，且 x>0、y>0 所以 x+y>0，故乘积 ≥0，即 x³+y³≥xy²+x²y。当且仅当 x=y 时取等。
（2）因为 x+4y=1，把 1x+1y 整体乘 1（即乘 x+4y）：
1x+1y=(1x+1y)(x+4y)
=1+4yx+xy+4=5+4yx+xy。
对后两项用基本不等式：4yx+xy≥2√4yx·xy=2√4=4。
所以原式 ≥5+4=9。等号当且仅当 4yx=xy，即 x²=4y²，得 x=2y。代入 x+4y=1：2y+4y=1，y=16，x=13。
所以最小值为 9。

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答案：（1）x³+y³≥xy²+x²y（x=y 取等）；（2）最小值为 9

16可变化图（15 分）投资 10 万元种甲、乙两种蔬菜。甲利润与投资额成正比（图1 过 (4,0.8)），乙利润与投资额的算术平方根成正比（图2 过 (4,1.6)）。（1）甲 1 万、乙 9 万，求利润；（2）如何分配使利润最大，最大多少？

知识点函数建模（正比例、根式型）、二次函数求最值。

思路与步骤

求解析式。设甲利润 y₁=k₁x，代入 (4,0.8)：0.8=4k₁，k₁=0.2，故 y₁=0.2x。
设乙利润 y₂=k₂√x，代入 (4,1.6)：1.6=k₂·√4=2k₂，k₂=0.8，故 y₂=0.8√x。
（1）甲 1 万、乙 9 万：利润 =0.2×1+0.8×√9=0.2+0.8×3=0.2+2.4=2.6（万元）。
（2）设甲投资 x 万元，则乙投资 (10−x) 万元，0≤x≤10。总利润 f(x)=0.2x+0.8√10−x。
换元去根号：令 t=√10−x，则 t≥0 且 x=10−t²，代入：
f=0.2(10−t²)+0.8t=2−0.2t²+0.8t=−0.2t²+0.8t+2。
配方：f=−0.2(t²−4t)+2=−0.2[(t−2)²−4]+2=−0.2(t−2)²+0.8+2=−0.2(t−2)²+2.8。
这是开口向下的二次函数，t=2 时取最大值 2.8。此时 10−x=2²=4，x=6，乙投 10−6=4。
所以甲投 6 万元、乙投 4 万元，最大利润 2.8 万元。

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答案：（1）2.6 万元；（2）甲投 6 万、乙投 4 万，最大利润 2.8 万元

17（15 分）A={x | 0<ax+1<5}，B={x | ½<2^x<4}。（1）a=−1 时求 A∩B、A∪B；（2）若 A∪B=A，求 a 的范围。

知识点指数不等式、集合运算、含参集合的包含关系。

思路与步骤

先解 B：½<2^x<4。把两端写成以 2 为底：12=2⁻¹，4=2²，所以 2⁻¹<2^x<2²。因 y=2^x 在 ℝ 上递增，得 −1<x<2，即 B=(−1,2)。
（1）a=−1：0<−x+1<5。
左边：0<−x+1 ⇒ x<1；
右边：−x+1<5 ⇒ −x<4 ⇒ x>−4。
所以 A=(−4,1)。
A∩B=(−4,1)∩(−1,2)=(−1,1)；A∪B=(−4,1)∪(−1,2)=(−4,2)。
（2）A∪B=A ⟺ B⊆A。A={x | −1<ax<4}，按 a 的正负讨论：
① a>0：不等式同除以正数 a，A=(−1a, 4a)。要 (−1,2)⊆A，需
−1a≤−1 ⇒ −1≤−a ⇒ a≤1；
4a≥2 ⇒ 4≥2a ⇒ a≤2。
所以 0<a≤1。
② a=0：A={x | −1<0<4}={x | 恒成立}=ℝ，B⊆ℝ 成立，所以 a=0 可以。
③ a<0：不等式同除以负数 a，不等号反向，A=(4a, −1a)。要 (−1,2)⊆A，需
4a≤−1 ⇒ 4≥−a ⇒ a≥−4；
−1a≥2 ⇒ −1≤2a ⇒ a≥−12。
所以 −12≤a<0。
三类合并：(0,1] ∪ {0} ∪ [−½,0)=[−½,1]。

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答案：（1）A∩B=(−1,1)，A∪B=(−4,2)；（2）a∈[−½,1]

18可变化图（17 分）f(x)= { |x−1|, 0≤x≤2 ; (½)^x−1, 2<x≤3 }，g(x)=a²+3a+5a²+1x−1。（1）画图并写单调区间；（2）若存在 x₁∈[0,3]、x₂∈(1,+∞) 使 g(x₂)=2f(x₁)，求 a；（3）0≤x₁<x₂<x₃≤3，m=(x₁+x₂)·x₂·f(x₃)，若 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)，求 m 的范围。

知识点分段函数图像与单调性、值域、二次/指数函数综合、方程与图像交点。

思路与步骤

（1）逐段画图：
0≤x≤2：f=|x−1|，是把 y=x−1 的负半段翻上去的 V 形，关键点 f(0)=1、f(1)=0、f(2)=1，[0,1] 递减、[1,2] 递增。
2<x≤3：f=(½)^x−1，底数 ½ 在 (0,1)，函数递减；x→2⁺ 时 f→(½)¹=½，x=3 时 f=(½)²=¼。
注意 x=2 处第一段给 f(2)=1，而右边极限是 ½，有跳跃。
结论：减区间 [0,1] 和 [2,3]；增区间 [1,2]。
（2）先求 2f(x₁) 的范围。f 在 [0,3] 上：第一段值域 [0,1]，第二段值域 [¼,½)，合起来 f([0,3])=[0,1]，所以 2f(x₁)∈[0,2]。
设 K=a²+3a+5a²+1，则 g(x)=Kx−1。分子 a²+3a+5=(a+32)²+114>0，分母 a²+1>0，所以 K>0，g 在 ℝ 上递增。
x₂∈(1,+∞) 时，g(x₂) 的范围是 (K·1−1, +∞)=(K−1, +∞)。
“存在 x₂ 使 g(x₂)=2f(x₁)”等价于 (K−1,+∞) 与 [0,2] 有公共点。因区间向右无限延伸，只需 K−1<2，即 K<3。
解 K<3：a²+3a+5a²+1<3。分母 a²+1>0，两边乘它：a²+3a+5<3a²+3。
移项：0<2a²−3a−2。因式分解 2a²−3a−2=(2a+1)(a−2)，所以 (2a+1)(a−2)>0，解得 a<−½ 或 a>2。
（3）设公共值 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)=k。
[0,2] 上的 V 形：水平线 y=k（0<k<1）与左右两支各交一点，给出两个点 x₁、x₂；第三个点只能在 (2,3] 上。而 (2,3] 上 f 的值域是 [¼,½)，所以 k∈[¼,½)。
求 x₁、x₂：x₁∈[0,1] 时 1−x₁=k ⇒ x₁=1−k；x₂∈[1,2] 时 x₂−1=k ⇒ x₂=1+k。所以 x₁+x₂=(1−k)+(1+k)=2。
x₃ 存在且唯一：由 (½)^x₃−1=k 及指数函数单调递减，对每个 k∈[¼,½) 恰有一个 x₃∈(2,3]，不影响下面 m 的计算。
代入 m：m=(x₁+x₂)·x₂·f(x₃)=2·(1+k)·k=2k²+2k。
φ(k)=2k²+2k 在 [¼,½) 上递增。
k=¼：φ=2·116+2·14=18+12=58；
k→½：φ→2·14+2·12=12+1=32（取不到）。

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答案：（1）减：[0,1]、[2,3]，增：[1,2]；（2）a<−½ 或 a>2；（3）m∈[⅝, ³⁄₂)

19可变化图（17 分）若存在常数 a，使对任意 x∈ℝ 有 f(x+a)=f(−x)，称 f 具有“P(a) 性质”。（1）f(x)=x²+x+1 具有 P(a)，求 a；（2）f 具有 P(0)，x≤0 时 f(x)=mx²+2x，求 x∈[0,1] 时 f 的最小值；（3）f 既有 P(1) 又有 P(−1)，且 x∈[−½,½] 时 f(x)=x；方程 |f(x)|=kx 在 [0,+∞) 恰有 100 个实根，求 k 的范围。

知识点函数对称性的新定义、由对称性推周期性、含绝对值方程根的个数。

思路与步骤

（1）分别算两边。
左：f(x+a)=(x+a)²+(x+a)+1=x²+2ax+a²+x+a+1=x²+(2a+1)x+(a²+a+1)；
右：f(−x)=(−x)²+(−x)+1=x²−x+1。
两边对任意 x 相等，比较系数：一次项 2a+1=−1，得 a=−1；代回常数项 a²+a+1=1−1+1=1，与右边 1 一致。所以 a=−1。
（2）P(0) 即 f(x+0)=f(−x)，也就是 f(x)=f(−x)，f 是偶函数。
当 x≥0 时，−x≤0，可代已知段：f(x)=f(−x)=m(−x)²+2(−x)=mx²−2x。
所以问题变成：在 [0,1] 上求 f(x)=mx²−2x 的最小值。
配方：f=m(x²−2mx)=m[(x−1m)²−1m²]=m(x−1m)²−1m（m≠0）。
分类讨论：
① m>0，开口向上，顶点 x=1m。若 1m≤1（即 m≥1），最小值在顶点处，f=−1m；若 1m>1（即 0<m<1），顶点在区间右侧，函数在 [0,1] 上递减，最小值 f(1)=m−2。
② m=0：f=−2x，递减，最小值 f(1)=−2（也符合 m−2）。
③ m<0：开口向下，顶点 x=1m<0 在区间左侧，函数在 [0,1] 上递减，最小值 f(1)=m−2。
合并：m≥1 时最小值为 −1m；m<1 时最小值为 m−2。
（3）把新定义翻译成对称性。
P(1)：f(x+1)=f(−x)。令 t=−x，则 x=−t，得 f(1−t)=f(t)，即 f(t)=f(1−t)，图像关于直线 x=½ 对称。
P(−1)：f(x−1)=f(−x)。令 t=−x，则 x=−t，得 f(−t−1)=f(t)，即 f(t)=f(−t−1)，图像关于直线 x=−½ 对称。
由两条对称轴推周期：f(t)=f(1−t) 且 f(t)=f(−1−t)，所以 f(1−t)=f(−1−t)。再令 u=1−t，则 t=1−u，−1−t=−1−(1−u)=u−2，得 f(u)=f(u−2)。所以 f 的周期 T=2。
求 |f| 的形状：已知 x∈[−½,½] 时 f(x)=x。由关于 x=½ 对称，x∈[½,³⁄₂] 时 f(x)=f(1−x)=1−x。于是 f 在 [−½,³⁄₂] 上是一条从 −½ 升到 ½、再降到 −½ 的“三角波”，周期 2。取绝对值后，|f| 变成周期为 1 的三角波：零点在整数 0,1,2,…，峰值 ½ 在半整数 12,32,…
数交点。方程 |f(x)|=kx 是三角波与过原点的直线 y=kx 的交点。
若 k≤0，直线在 x 轴下方或贴着 x 轴，最多只有 x=0 一个根，不可能有 100 个，所以 k>0（且需 k<1 才有两交点）。
看第 n 段 [n,n+1]（n=0,1,2,…）：
上升段 [n,n+½]：|f|=x−n。解 x−n=kx ⇒ x(1−k)=n ⇒ x=n1−k。要落在 [n,n+½]，等价于 n+½≤12k。
下降段 [n+½,n+1]：|f|=n+1−x。解 n+1−x=kx ⇒ x=n+11+k。同样要求 n+½≤12k。
所以：n+½<12k 时该段有 2 个根；取等时有 1 个（相切于峰顶）；大于时 0 个。
要恰有 100 个根：需要前 50 段（n=0,1,…,49）各 2 个，共 100 个；第 50 段（n=50）不能有根，也不能相切。
n=49：49+½<12k ⇒ 49.5<12k ⇒ k<199；
n=50：50+½>12k ⇒ 50.5>12k ⇒ k>1101。
验证端点：k=199 时第 49 段相切，只有 49×2+1=99 个根；k=1101 时第 50 段相切，有 50×2+1=101 个根，都不合。所以取开区间。

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答案：（1）a=−1；（2）m≥1 时最小值 −1/m，m<1 时最小值 m−2；（3）k∈(1/101, 1/99)

1设全集 U={x | x 是不大于 10 的正整数}，A={1,3,5,7}，则 ∁_UA 中元素的个数为

A. 4B. 5C. 6D. 7

知识点集合的补集运算、有限集元素个数。

思路与步骤

把 U 列举出来：U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，共 n(U)=10 个。
A={1,3,5,7}，共 n(A)=4 个。
∁_UA={2,4,6,8,9,10}，共 6 个；也可用 n(∁_UA)=n(U)−n(A)=10−4=6。

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答案：C

2已知命题 p：∀x∈ℝ，|x−2|>0；命题 q：∃x>0，x²=2x，则

A. p 和 q 都是真命题B. ¬p 和 q 都是真命题C. p 和 ¬q 都是真命题D. ¬p 和 ¬q 都是真命题

知识点全称量词命题、存在量词命题的真假与否定。

思路与步骤

判 p：取 x=2，|2−2|=0，不满足“>0”，所以 p 假、¬p 真。
判 q：x²=2x ⇒ x²−2x=0 ⇒ x(x−2)=0，得 x=0 或 2；其中 x=2>0，所以 q 真。
结论：¬p 与 q 都真。

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答案：B

3某同学从家出发匀速走到图书馆，在图书馆停留一段时间后，按原速沿原路返回家中。下列图像中最符合“离家距离与时间关系”的是

A. 一直上升B. 先上升、再水平、最后下降C. 先快后慢地上升D. 先慢后快地上升

知识点函数建模、图像与实际情境对应（斜率＝速度）。

思路与步骤

去图书馆：匀速，距离均匀增加，图像是斜率不变的上升直线。
停留：距离不变，图像是水平线。
返回：按原速沿原路走，距离均匀减小，图像是斜率相同的下降直线。
所以图像是“上升—水平—下降”。

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答案：B

4已知幂函数 f(x)=x^α 的图像经过点 (27,9)，则 f(x) 的解析式为

A. x^1/2B. x^2/3C. x^3/2D. x³

知识点幂函数的定义与解析式。

思路与步骤

幂函数设为 f(x)=x^α，代入 (27,9)：27^α=9。
27=3³，9=3²，所以 3^3α=3²，得 3α=2，α=2/3。
所以 f(x)=x^2/3。

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答案：B

5已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，且当 x≤0 时，f(x)=x²+2x，则当 x>0 时，f(x)=

A. x²−2xB. −x²+2xC. x²+2xD. −x²−2x

知识点奇函数性质、利用对称性求解析式。

思路与步骤

设 x>0，则 −x<0，f(−x)=(−x)²+2(−x)=x²−2x。
f 是奇函数，f(x)=−f(−x)=−(x²−2x)=−x²+2x。
所以 x>0 时 f(x)=−x²+2x。

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答案：B

6已知定义在 ℝ 上的函数 f(x) 满足：对任意 x,y∈ℝ，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，则 f(x)

A. 是奇函数，且在 ℝ 上单调递增B. 是奇函数，且在 ℝ 上单调递减C. 是偶函数，且在 (0,+∞) 上单调递增D. 是偶函数，且在 (0,+∞) 上单调递减

知识点抽象函数（赋值法）判断奇偶性与单调性。

思路与步骤

令 x=y=0：f(0)=f(0)+f(0)，得 f(0)=0。
令 y=−x：f(0)=f(x)+f(−x)，所以 f(−x)=−f(x)，f 为奇函数。
设 x₁<x₂，则 x₂−x₁>0，由题设 f(x₂−x₁)<0。
又 f(x₂)=f[(x₂−x₁)+x₁]=f(x₂−x₁)+f(x₁)，所以 f(x₂)−f(x₁)=f(x₂−x₁)<0，即 f 在 ℝ 上单调递减。

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答案：B

7设命题 p：∀x∈(0,+∞)，x²−(a−2)x+1≥0，则 p 为真命题的一个充分不必要条件是

A. a≤3B. a≤4C. a≤5D. a≥4

知识点不等式恒成立、充分条件与必要条件。

思路与步骤

两边除以 x>0：x−(a−2)+1x≥0，即 x+1x≥a−2。
由基本不等式 x+1x≥2（x=1 取等），所以 a−2≤2，即 a≤4。p 真 ⟺ a≤4。
充分不必要：a≤3 ⇒ a≤4，且 a=4 满足 p 但不满足 a≤3，所以 a≤3 符合。

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答案：A

8在平面直角坐标系中，已知点 A(1,2)，B(2,4)，抛物线 y=ax²+bx+2（a≠0）与线段 AB 相切，则 b 的取值范围是

A. [−2, 0]B. [0, 2]C. [−1, 0]D. [0, 1]

知识点二次函数与直线相切、判别式、参数范围。

思路与步骤

线段 AB 在直线 y=2x 上，x∈[1,2]。
相切：ax²+bx+2=2x ⇒ ax²+(b−2)x+2=0，Δ=(b−2)²−8a=0，得 a=(b−2)²8。
切点横坐标 x₀=−b−22a=42−b（一般地 x₀=2cm−b，c=2，m=2）。
切点在线段上：1≤42−b≤2。因 x₀>0，所以 b<2。
左边：2−b≤4 ⇒ b≥−2；右边：2−b≥2 ⇒ b≤0。所以 b∈[−2,0]。

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答案：A

9下列说法正确的是

A. 若函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 f(−x) 在 (−∞,0) 上单调递减B. 若函数 f(x) 的最大值为 M、最小值为 m，则 f(x) 的值域为 [m,M]C. 若函数 f(x) 的定义域为 ℝ 且为偶函数，则其图像与 y 轴有且只有一个公共点D. 若 f(x) 是奇函数且 f(1)=2，则 f(−1)=−2

知识点单调性、最值与值域、图像与 y 轴交点、奇函数性质。

思路与步骤

A：设 x₁<x₂<0，则 −x₁>−x₂>0。f 在 (0,+∞) 递增，所以 f(−x₁)>f(−x₂)，即 f(−x) 递减。正确。
B：最大值 M、最小值 m 只说明 m≤f(x)≤M，值域是 [m,M] 的子集，不一定取遍。错误。
C：定义域为 ℝ，x=0 只有一个函数值，图像与 y 轴恰交于 (0,f(0))。正确。
D：奇函数 f(−1)=−f(1)=−2。正确。

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答案：ACD

10下列等式恒成立的是

A. ∛a³=a（a∈ℝ）B. √a²=a（a∈ℝ）C. a^2/3·a^1/3=a（a>0）D. (a^1/2)²=a（a≥0）

知识点根式与分数指数幂、指数幂运算。

思路与步骤

A：∛(a³)=a 对一切实数 a 成立（奇次根号）。正确。
B：√(a²)=|a|，a<0 时等于 −a，不是 a。错误。
C：a^2/3·a^1/3=a^2/3+1/3=a。正确。
D：(a^1/2)²=a（a≥0）。正确。

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答案：ACD

11已知集合 A={1,2,3}，B、C 是 A 的两个非空真子集，且 B∩C=∅。若对任意 a∈A，存在 b∈B、c∈C 及 λ,μ∈{0,1}，使 a=λb+μc，就称 (B,C) 为 A 的一组“基底集”。则下列结论正确的是

A. 当 B={3} 时，A 有 1 组基底集B. 当 B={1} 时，A 有 2 组基底集C. 当 B={2} 时，A 有 3 组基底集D. 当 B={1,2} 时，A 有 1 组基底集

知识点集合新定义、分类讨论。

思路与步骤

λ,μ 只能取 0 或 1，所以 a 只能是 0、b、c、b+c。
A：B={3}，C⊆{1,2}。1 只能靠 c=1，2 只能靠 c=2，所以 C={1,2}，1 组。正确。
B：B={1}，C⊆{2,3}。2 必须 ∈C；3 可由 1+2 得到。C={2} 或 {2,3}，2 组。正确。
C：B={2}，C⊆{1,3}。1 必须 ∈C；3 可由 2+1 得到。C={1} 或 {1,3}，2 组，不是 3 组。错误。
D：B={1,2}，C⊆{3}，只能 C={3}，1 组。正确。

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答案：ABD

12已知函数 f(x)={ x²（x≥0）；2x+3（x<0） }，若 f(a)=1，则 a=______。

知识点分段函数求值。

思路与步骤

若 a≥0：a²=1，得 a=1（a=−1 不在该段，舍）。
若 a<0：2a+3=1，得 a=−1，符合 a<0。
所以 a=1 或 −1。

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答案：±1

13已知函数 f(x)=x²−(a−7)x+a。若 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，且 f(x)x 在 (0,2) 上单调递减，则 a 的取值范围是______。

知识点二次函数单调性、分式型函数单调性。

思路与步骤

f 开口向上，对称轴 x=a−72。在 (0,+∞) 递增需 a−72≤0，得 a≤7。
f(x)x=x+ax−(a−7)。要它在 (0,2) 递减，需 a≥4（对勾函数在 (0,√a] 递减，需 √a≥2）。
取交集：4≤a≤7。

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答案：[4,7]

14记 min A 表示数集 A 中最小的数。设 x,y>0，M=min{2x, 1y, 1x+y}，则 M 的最大值为______。

知识点max-min 问题、不等式放缩。

思路与步骤

令三项相等：2x=1y=1x+y。
由 2x=1y 得 y=12x。
代 2x=1x+12x=32x，得 4x²=3，x=√32，M=2x=√3。
验证：1/y=√3，1/x+y=2√3+1√3=√3。
若三项都 >√3，则 x>√32、y<1√3，于是 1/x+y<2√3+1√3=√3，矛盾。所以最大值是 √3。

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答案：√3

15（13 分）已知 x>0，y>0。
（1）比较 x⁴+y⁴ 与 x³y+xy³ 的大小；
（2）若 x+9y=1，求 1x+1y 的最小值。

知识点作差法、基本不等式。

思路与步骤

（1）作差：x⁴+y⁴−(x³y+xy³)=x³(x−y)+y³(y−x)=(x−y)(x³−y³)=(x−y)²(x²+xy+y²)≥0，所以 x⁴+y⁴≥x³y+xy³，当且仅当 x=y 取等。
（2）乘 1：(1/x+1/y)(x+9y)=1+9y/x+x/y+9=10+9y/x+x/y。
由基本不等式 9y/x+x/y≥2√9=6，所以原式≥16。
等号当 9y/x=x/y，即 x=3y；结合 x+9y=1 得 y=1/12，x=1/4。最小值为 16。

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答案：（1）x⁴+y⁴≥x³y+xy³（x=y 取等）；（2）16

16（15 分）投资 12 万元种植甲、乙两种蔬菜。甲种蔬菜的利润与投资额成正比，图像过点 (3,0.6)；乙种蔬菜的利润与投资额的算术平方根成正比，图像过点 (9,1.8)。
（1）若甲投 3 万元、乙投 9 万元，求总利润；
（2）如何分配这 12 万元，才能使总利润最大？最大利润是多少？

知识点函数建模、二次函数求最值。

思路与步骤

甲：y₁=k₁x，0.6=3k₁，k₁=0.2，y₁=0.2x。
乙：y₂=k₂√x，1.8=3k₂，k₂=0.6，y₂=0.6√x。
（1）0.2×3+0.6×3=0.6+1.8=2.4（万元）。
（2）设甲投 x 万，乙投 12−x 万，f(x)=0.2x+0.6√(12−x)。
令 t=√(12−x)，x=12−t²，f=0.2(12−t²)+0.6t=−0.2t²+0.6t+2.4=−0.2(t−1.5)²+2.85。
t=1.5 时取最大，此时 x=12−2.25=9.75，乙=2.25，最大利润 2.85 万元。

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答案：（1）2.4 万元；（2）甲投 9.75 万、乙投 2.25 万，最大利润 2.85 万元

17（15 分）已知集合 A={x | 0<ax+2<6}，B={x | 14<2^x<8}。
（1）当 a=−2 时，求 A∩B 和 A∪B；
（2）若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围。

知识点指数不等式、集合运算、含参集合包含关系。

思路与步骤

先解 B：1/4=2⁻²，8=2³，所以 −2<x<3，B=(−2,3)。
（1）a=−2：0<−2x+2<6。左边 0<−2x+2 ⇒ x<1；右边 −2x+2<6 ⇒ x>−2。所以 A=(−2,1)。
A∩B=(−2,1)，A∪B=(−2,3)。
（2）A∪B=A ⇔ B⊆A。A={x | −2<ax<4}。
a>0：A=(−2/a,4/a)，需 −2/a≤−2 ⇒ a≤1；4/a≥3 ⇒ a≤4/3，所以 0<a≤1。
a=0：A=ℝ，成立。
a<0：A=(4/a,−2/a)，需 4/a≤−2 ⇒ a≥−2；−2/a≥3 ⇒ a≥−2/3，所以 −2/3≤a<0。
合并：[−2/3,1]。

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答案：（1）A∩B=(−2,1)，A∪B=(−2,3)；（2）[−2/3, 1]

18（17 分）已知函数 f(x)={ |x−2|（0≤x≤3）；3^x−3（3<x≤4） }。
（1）画出 y=f(x) 的大致图像，并写出单调区间；
（2）求 f(x) 的值域。

知识点分段函数图像、单调性与值域、指数函数。

思路与步骤

第一段 |x−2| 在 [0,3] 上是 V 形：f(0)=2，f(2)=0，f(3)=1；在 [0,2] 递减，在 [2,3] 递增。
第二段 3^x−3 在 (3,4] 上递增：x→3⁺ 时趋近 1，x=4 时为 3。x=3 处第一段给 f(3)=1，与右极限相同，图像连续。
所以减区间 [0,2]，增区间 [2,4]。
值域：第一段 [0,2]，第二段 (1,3]，合并得 [0,3]。

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答案：（1）减区间 [0,2]，增区间 [2,4]；（2）值域 [0,3]

19（17 分）对定义在 ℝ 上的函数 f(x)，若存在常数 a，使对任意 x∈ℝ，都有 f(x+a)=−f(−x) 成立，则称 f(x) 具有“Q(a) 性质”。
（1）已知函数 f(x)=x³+x 具有“Q(a) 性质”，求 a 的值；
（2）已知函数 f(x) 具有“Q(0) 性质”，且当 x≥0 时，f(x)=x²−2x，求当 x<0 时 f(x) 的解析式；
（3）已知函数 f(x) 既具有“Q(1) 性质”，又具有“Q(−1) 性质”，证明 f(x) 是周期函数，并求出它的一个周期。

知识点函数对称性的新定义、周期函数。

思路与步骤

（1）f(x+a)=(x+a)³+(x+a)=x³+3ax²+3a²x+a³+x+a；−f(−x)=−[(−x)³+(−x)]=x³+x。比较 x² 项：3a=0，得 a=0；代回常数项 a³+a=0，成立。
（2）Q(0)：f(x)=−f(−x)。设 x<0，则 −x>0，f(−x)=(−x)²−2(−x)=x²+2x，所以 f(x)=−x²−2x。
（3）Q(1)：f(x+1)=−f(−x)；Q(−1)：f(x−1)=−f(−x)。两式右边相同，所以 f(x+1)=f(x−1)。令 t=x−1，得 f(t+2)=f(t)，周期为 2。

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答案：（1）a=0；（2）f(x)=−x²−2x（x<0）；（3）周期 2

1设全集 U={x | x 是小于 8 的正整数}，A={1,2,4,7}，则 ∁_UA 中元素的个数为

A. 3B. 4C. 5D. 6

知识点集合的补集运算、有限集元素个数。

思路与步骤

U={1,2,3,4,5,6,7}，n(U)=7。
A={1,2,4,7}，n(A)=4。
∁_UA={3,5,6}，共 3 个；也可用 7−4=3。

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答案：A

2已知命题 p：∀x∈ℝ，x²+1>0；命题 q：∃x>0，x²=x³，则

A. p 和 q 都是真命题B. ¬p 和 q 都是真命题C. p 和 ¬q 都是真命题D. ¬p 和 ¬q 都是真命题

知识点全称量词命题、存在量词命题的真假与否定。

思路与步骤

判 p：对任意 x，x²≥0，所以 x²+1≥1>0，p 真。
判 q：x²=x³ ⇒ x²(1−x)=0，得 x=0 或 1；其中 x=1>0，所以 q 真。
结论：p 和 q 都真。

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答案：A

3小明从家出发先匀速步行，后来跑步加速前进，最后到达学校。下列图像中最符合“离家距离与时间关系”的是

A. 一直匀速上升B. 先匀速、后加速上升C. 先加速、后匀速上升D. 先上升、后下降

知识点函数建模、图像与实际情境对应（斜率＝速度）。

思路与步骤

匀速步行：距离均匀增加，图像是斜率不变的上升直线。
跑步加速：距离增加得越来越快，图像越来越陡，但仍上升。
所以图像是“先直线上升、后变陡上升”。

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答案：B

4已知幂函数 f(x)=x^α 的图像经过点 (8,2)，则 f(x)

A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数

知识点幂函数的解析式与奇偶性。

思路与步骤

代入 (8,2)：8^α=2，即 2^3α=2¹，所以 3α=1，α=1/3。
f(x)=x^1/3=∛x，定义域为 ℝ。
f(−x)=∛(−x)=−∛x=−f(x)，所以 f 是奇函数。

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答案：A

5已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，且当 x≤0 时，f(x)=x²−x，则当 x>0 时，f(x)=

A. x²+xB. −x²−xC. x²−xD. −x²+x

知识点奇函数性质、利用对称性求解析式。

思路与步骤

设 x>0，则 −x<0，f(−x)=(−x)²−(−x)=x²+x。
f 是奇函数，f(x)=−f(−x)=−(x²+x)=−x²−x。
所以 x>0 时 f(x)=−x²−x。

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答案：B

6已知定义在 ℝ 上的函数 f(x) 是奇函数，且对任意 x,y∈ℝ 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，当 x>0 时 f(x)>0，则 f(x) 在 ℝ 上

A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 无法确定

知识点抽象函数（赋值法）判断单调性。

思路与步骤

设 x₁<x₂，则 x₂−x₁>0，由题设 f(x₂−x₁)>0。
f(x₂)=f[(x₂−x₁)+x₁]=f(x₂−x₁)+f(x₁)，所以 f(x₂)−f(x₁)=f(x₂−x₁)>0。
即 f(x₂)>f(x₁)，f 在 ℝ 上单调递增。

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答案：A

7设命题 p：∀x∈(0,+∞)，x²+(4−a)x+1≥0，则 p 为真命题的一个充分不必要条件是

A. a≤5B. a≤6C. a≥5D. a≥6

知识点不等式恒成立、充分条件与必要条件。

思路与步骤

两边除以 x>0：x+(4−a)+1x≥0，即 x+1x≥a−4。
由基本不等式 x+1x≥2，所以 a−4≤2，即 a≤6。p 真 ⟺ a≤6。
充分不必要：a≤5 ⇒ a≤6，且 a=6 满足 p 但不满足 a≤5，所以 a≤5 符合。

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答案：A

8在平面直角坐标系中，已知点 A(1,3)，B(3,9)，抛物线 y=ax²+bx+3（a≠0）与线段 AB 相切，则 b 的取值范围是

A. [−3, 1]B. [−1, 3]C. [0, 1]D. [−1, 1]

知识点二次函数与直线相切、判别式、参数范围。

思路与步骤

线段 AB 在直线 y=3x 上，x∈[1,3]。
相切：ax²+bx+3=3x ⇒ ax²+(b−3)x+3=0，Δ=(b−3)²−12a=0，得 a=(b−3)²12。
切点 x₀=2cm−b=63−b（c=3，m=3）。
切点在线段上：1≤63−b≤3。因 x₀>0，所以 b<3。
左边：3−b≤6 ⇒ b≥−3；右边：3−b≥2 ⇒ b≤1。所以 b∈[−3,1]。

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答案：A

9下列说法正确的是

A. 若函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，则 f(−x) 在 (−∞,0) 上单调递增B. 若 f(x) 为奇函数且定义域为 ℝ，则 f(0)=0C. 若函数 f(x) 的最大值为 2、最小值为 0，则其值域为 [0,2]D. 若函数 f(x) 的定义域为 ℝ，则其图像与 y 轴有且只有一个公共点

知识点单调性、最值与值域、奇函数性质、图像与 y 轴交点。

思路与步骤

A：设 x₁<x₂<0，则 −x₁>−x₂>0。f 在 (0,+∞) 递减，所以 f(−x₁)<f(−x₂)，即 f(−x) 递增。正确。
B：奇函数 f(0)=−f(0)，得 f(0)=0。正确。
C：最值为 2 和 0 只说明值域是 [0,2] 的子集，不一定取遍。错误。
D：定义域为 ℝ，x=0 只有一个函数值，图像与 y 轴恰交于一点。正确。

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答案：ABD

10下列等式恒成立的是

A. √a²=|a|（a∈ℝ）B. ∛a³=a（a∈ℝ）C. a^3/4·a^1/4=a（a>0）D. √a·√a=a（a∈ℝ）

知识点根式与分数指数幂、指数幂运算。

思路与步骤

A：√(a²)=|a|，正确。
B：∛(a³)=a 对一切实数成立，正确。
C：a^3/4·a^1/4=a¹=a（a>0），正确。
D：a<0 时 √a 无意义，不能对 a∈ℝ 恒成立。错误。

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答案：ABC

11已知集合 A={1,2,3,4}，B、C 是 A 的两个非空真子集，且 B∩C=∅。若对任意 a∈A，存在 b∈B、c∈C 及 λ,μ∈{0,1}，使 a=λb+μc，就称 (B,C) 为 A 的一组“基底集”。则下列结论正确的是

A. 当 B={4} 时，A 有 1 组基底集B. 当 B={1,2} 时，A 有 2 组基底集C. 当 B={1,4} 时，A 有 1 组基底集D. 当 B={2} 时，A 有 2 组基底集

知识点集合新定义、分类讨论。

思路与步骤

a 只能是 0、b、c、b+c。
A：B={4}，C⊆{1,2,3}。1、2、3 都只能靠 c 本身（4+c 凑不出），所以 C={1,2,3}，1 组。正确。
B：B={1,2}，C⊆{3,4}。3 必须 ∈C；4 可由 1+3 得到。C={3} 或 {3,4}，2 组。正确。
C：B={1,4}，C⊆{2,3}。2 必须 ∈C；3 可由 1+2 得到。C={2} 或 {2,3}，2 组，不是 1 组。错误。
D：B={2}，C⊆{1,3,4}。1 必须 ∈C；4 必须 ∈C；3 可由 2+1 得到。C={1,4} 或 {1,3,4}，2 组。正确。

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答案：ABD

12已知函数 f(x)={ 3^x（x≥0）；x²−2（x<0） }，若 f(a)=1，则 a=______。

知识点分段函数求值。

思路与步骤

若 a≥0：3^a=1=3⁰，得 a=0，符合 a≥0。
若 a<0：a²−2=1，得 a²=3，a=−√3（a=√3 不在该段，舍）。
所以 a=0 或 −√3。

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答案：0 或 −√3

13已知函数 f(x)=x²−(a−6)x+a。若 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，且 f(x)x 在 (0,2) 上单调递减，则 a 的取值范围是______。

知识点二次函数单调性、分式型函数单调性。

思路与步骤

对称轴 x=a−62，在 (0,+∞) 递增需 a−62≤0，得 a≤6。
f(x)x=x+ax−(a−6)，在 (0,2) 递减需 a≥4（√a≥2）。
取交集：4≤a≤6。

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答案：[4,6]

14记 min A 表示数集 A 中最小的数。设 x,y>0，M=min{x, 1y, 1x+y}，则 M 的最大值为______。

知识点max-min 问题、不等式放缩。

思路与步骤

令三项相等：x=1y=1x+y。
由 x=1y 得 y=1x。
代 x=1x+1x=2x，得 x²=2，x=√2，M=√2。
验证：1/y=√2，1/x+y=1√2+1√2=2√2=√2。
若三项都 >√2，则 x>√2、y<1√2，于是 1/x+y<1√2+1√2=√2，矛盾。所以最大值是 √2。

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答案：√2

15（13 分）已知 x>0，y>0。
（1）比较 x⁵+y⁵ 与 x³y²+x²y³ 的大小；
（2）若 x+2y=1，求 1x+1y 的最小值。

知识点作差法、基本不等式。

思路与步骤

（1）作差：x⁵+y⁵−(x³y²+x²y³)=x³(x²−y²)+y³(y²−x²)=(x²−y²)(x³−y³)=(x−y)²(x+y)(x²+xy+y²)≥0，所以 x⁵+y⁵≥x³y²+x²y³，当且仅当 x=y 取等。
（2）乘 1：(1/x+1/y)(x+2y)=1+2y/x+x/y+2=3+2y/x+x/y。
由基本不等式 2y/x+x/y≥2√2，所以原式≥3+2√2。
等号当 2y/x=x/y，即 x=√2 y；结合 x+2y=1 得 y=12+√2，x=√22+√2。最小值为 3+2√2。

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答案：（1）x⁵+y⁵≥x³y²+x²y³（x=y 取等）；（2）3+2√2

16（15 分）投资 9 万元种植甲、乙两种蔬菜。甲种蔬菜的利润与投资额成正比，图像过点 (5,1)；乙种蔬菜的利润与投资额的算术平方根成正比，图像过点 (4,1.2)。
（1）若甲投 5 万元、乙投 4 万元，求总利润；
（2）如何分配这 9 万元，才能使总利润最大？最大利润是多少？

知识点函数建模、二次函数求最值。

思路与步骤

甲：y₁=k₁x，1=5k₁，k₁=0.2，y₁=0.2x。
乙：y₂=k₂√x，1.2=2k₂，k₂=0.6，y₂=0.6√x。
（1）0.2×5+0.6×2=1+1.2=2.2（万元）。
（2）设甲投 x 万，乙投 9−x 万，f(x)=0.2x+0.6√(9−x)。
令 t=√(9−x)，x=9−t²，f=0.2(9−t²)+0.6t=−0.2t²+0.6t+1.8=−0.2(t−1.5)²+2.25。
t=1.5 时取最大，此时 x=9−2.25=6.75，乙=2.25，最大利润 2.25 万元。

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答案：（1）2.2 万元；（2）甲投 6.75 万、乙投 2.25 万，最大利润 2.25 万元

17（15 分）已知集合 A={x | 0<ax+3<9}，B={x | 18<2^x<4}。
（1）当 a=−1 时，求 A∩B 和 A∪B；
（2）若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围。

知识点指数不等式、集合运算、含参集合包含关系。

思路与步骤

先解 B：1/8=2⁻³，4=2²，所以 −3<x<2，B=(−3,2)。
（1）a=−1：0<−x+3<9。左边 x<3；右边 −x+3<9 ⇒ x>−6。所以 A=(−6,3)。
A∩B=(−3,2)，A∪B=(−6,3)。
（2）A∪B=A ⇔ B⊆A。A={x | −3<ax<6}。
a>0：A=(−3/a,6/a)，需 −3/a≤−3 ⇒ a≤1；6/a≥2 ⇒ a≤3，所以 0<a≤1。
a=0：A=ℝ，成立。
a<0：A=(6/a,−3/a)，需 6/a≤−3 ⇒ a≥−2；−3/a≥2 ⇒ a≥−3/2，所以 −3/2≤a<0。
合并：[−3/2,1]。

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答案：（1）A∩B=(−3,2)，A∪B=(−6,3)；（2）[−3/2, 1]

18（17 分）已知函数 f(x)={ |x−1|（0≤x≤2）；2^x−2（2<x≤4） }。
（1）画出 y=f(x) 的大致图像，并写出单调区间；
（2）求 f(x) 的值域。

知识点分段函数图像、单调性与值域、指数函数。

思路与步骤

第一段 |x−1| 在 [0,2] 上是 V 形：f(0)=1，f(1)=0，f(2)=1；在 [0,1] 递减，在 [1,2] 递增。
第二段 2^x−2 在 (2,4] 上递增：x→2⁺ 时趋近 1，x=4 时为 4。x=2 处第一段给 f(2)=1，与右极限相同，图像连续。
所以减区间 [0,1]，增区间 [1,4]。
值域：第一段 [0,1]，第二段 (1,4]，合并得 [0,4]。

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答案：（1）减区间 [0,1]，增区间 [1,4]；（2）值域 [0,4]

19（17 分）对定义在 ℝ 上的函数 f(x)，若存在常数 a，使对任意 x∈ℝ，都有 f(x+a)=f(−x) 成立，则称 f(x) 具有“P(a) 性质”。
（1）已知函数 f(x)=x²−2x+3 具有“P(a) 性质”，求 a 的值；
（2）已知函数 f(x) 具有“P(0) 性质”，且当 x≤0 时，f(x)=x²+2x，求当 x≥0 时 f(x) 的解析式；
（3）已知函数 f(x) 既具有“P(2) 性质”，又具有“P(−2) 性质”，证明 f(x) 是周期函数，并求出它的一个周期。

知识点函数对称性的新定义、周期函数。

思路与步骤

（1）f(x+a)=(x+a)²−2(x+a)+3=x²+(2a−2)x+(a²−2a+3)；f(−x)=x²+2x+3。比较一次项：2a−2=2，得 a=2；常数项 a²−2a+3=4−4+3=3，吻合。
（2）P(0)：f(x)=f(−x)。设 x≥0，则 −x≤0，f(−x)=(−x)²+2(−x)=x²−2x，所以 f(x)=x²−2x。
（3）P(2)：f(x+2)=f(−x)；P(−2)：f(x−2)=f(−x)。两式右边相同，所以 f(x+2)=f(x−2)。令 t=x−2，得 f(t+4)=f(t)，周期为 4。

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答案：（1）a=2；（2）f(x)=x²−2x（x≥0）；（3）周期 4