高一数学期中解析 · 可筛选 / 可变化图

1设全集 U={x | x 是小于 9 的正整数}，A={2,4,6}，求 ∁_UA 的元素个数。

知识点集合的补集运算、有限集元素个数。

思路与步骤

把描述法列举出来：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以 n(U)=8。
A={2,4,6}，所以 n(A)=3。
∁_UA 是 U 中不属于 A 的元素：∁_UA={1,3,5,7,8}。
数个数：共 5 个；也可用 n(∁_UA)=n(U)−n(A)=8−3=5。

举一反三

方法维度：列举法、公式 n(∁_UA)=n(U)−n(A)、韦恩图，三种都能做。
变式维度：U 改成连续区间（如 U=ℝ，A 为某不等式解集），补集借助数轴，注意端点开闭。
逆向维度：已知 n(U)、n(∁_UA)，反求 n(A)。
易错维度：端点算不算、0 是否属于正整数。

答案：C

2命题 p：∀x∈ℝ，|x+1|>1；命题 q：∃x>0，x³=x。判断 p、q 及否命题的真假。

知识点全称量词命题、存在量词命题的真假判断与否定。

思路与步骤

判 p：要找让 |x+1|>1 失败的值，即 |x+1|≤1。取 x=−1：|−1+1|=|0|=0，而 0≤1，不满足“>1”。所以 p 是假命题，¬p 是真命题。
判 q：解 x³=x，移项得 x³−x=0，因式分解 x(x²−1)=0，即 x(x−1)(x+1)=0，得 x=0,1,−1。其中 x=1 满足 x>0，所以存在这样的正数，q 是真命题。
结论：¬p 真、q 真。

举一反三

方法维度：全称假找反例，存在真找具体值，也可画数轴。
变式维度：把“∀”改成“∃”，或把结论取反；否定时量词与结论要同时否定。
迁移维度：含参数的“恒成立/存在”问题，转化为最值比较。
易错维度：只否定结论、忘记更换量词。

答案：B

3某同学走路去学校，出发后加速行走一段，发现时间充裕便放慢脚步。离家距离与行走时间的关系图像最吻合的是？

知识点函数建模、图像与实际情境对应（斜率 = 速度）。

思路与步骤

人一直在往学校走，离家距离只会增加，不会减少，所以横轴上方那条曲线必须整体上升，先排除有下降段的 D。
“加速行走”说明速度变大，图像的斜率（陡峭程度）越来越高；“放慢脚步”说明速度变小，斜率变缓，但仍为正（还在往前走）。
逐项看：A 的斜率一直增大，表示一直加速，没有放慢；B 先直线上升后水平，表示匀速后停下；C 先变陡后变缓、整体仍上升，符合“先快后慢”；D 有上升—下降—上升，表示往回走，不符。
所以只有 C 吻合。

举一反三

方法维度：s-t 图斜率＝速度；v-t 图面积＝路程，两种图像可互化。
变式维度：先慢后快（凹）、到校停留（水平）、半路折返（下降），分别对应不同图像。
迁移维度：给 v-t 图让你画 s-t 图，或反过来。
易错维度：把“速度变小”误读成“距离变小”。

答案：C

4幂函数 y=f(x) 的图像过点 P(8,4)，则 y=f(x−1) 的图像关于什么对称？

知识点幂函数解析式、图像平移与对称性。

思路与步骤

幂函数设为 f(x)=x^α。图像过 P(8,4)，代入：8^α=4。
把 8 写成 2³：2^3α=2²，所以 3α=2，α=2/3。
得 f(x)=x^2/3。验证奇偶性：f(−x)=(−x)^2/3=(x²)^1/3=x^2/3=f(x)，是偶函数，图像关于 y 轴（直线 x=0）对称。
y=f(x−1) 表示把 y=f(x) 的图像向右平移 1 个单位，对称轴也跟着右移 1，变成直线 x=1。

举一反三

方法维度：待定系数求 α；由指数判断奇偶；由单调性比较大小。
变式维度：同底不同指数用单调性；同指数不同底用图像；底、指数都不同找中间量。
迁移维度：幂函数图像都过 (1,1)，α>0 时第一象限递增、α<0 时递减。
易错维度：α 为分数时定义域受限，如 x^1/2 只对 x≥0 有定义。

答案：A

5f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，x≤0 时 f(x)=x(1−x)，求 x>0 时 f(x)。

知识点奇函数性质、利用对称性求解析式。

思路与步骤

设 x>0，要把它转到已知区间：此时 −x<0，可以代 x≤0 的表达式。
代入 f(x)=x(1−x)：f(−x)=(−x)·[1−(−x)]=(−x)(1+x)=−x(1+x)。
f 是奇函数，满足 f(x)=−f(−x)，所以 f(x)=−[−x(1+x)]=x(1+x)。
结论：x>0 时 f(x)=x(1+x)。

举一反三

方法维度：把未知区间转到已知区间，再用奇偶性。
变式维度：偶函数、周期函数、只给半段求整段。
迁移维度：图像平移/对称后求解析式。
易错维度：漏掉 x=0 处（奇函数 f(0)=0）、分段区间写错。

答案：D

6f(x) 定义在 ℝ 上，对任意 x,y 有 f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x>0 时 f(x)>0。判断 f(x) 的奇偶性与单调性。

知识点抽象函数（赋值法）判断奇偶性与单调性。

思路与步骤

① 令 x=y=0，代入 f(x+y)=f(x)+f(y)：f(0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=2f(0)，移项得 f(0)=0。
② 令 y=−x，代入得 f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，即 f(0)=f(x)+f(−x)。因 f(0)=0，所以 f(x)+f(−x)=0，即 f(−x)=−f(x)，f 为奇函数。
③ 设 x₁<x₂，则 x₂−x₁>0，由题设“x>0 时 f(x)>0”，有 f(x₂−x₁)>0。
把 x₂ 拆成 (x₂−x₁)+x₁，用原式：f(x₂)=f[(x₂−x₁)+x₁]=f(x₂−x₁)+f(x₁)。
移项：f(x₂)−f(x₁)=f(x₂−x₁)>0，即 f(x₂)>f(x₁)。由 x₁<x₂ 的任意性，f 在 ℝ 上单调递增。

举一反三

方法维度：赋值法——赋 x=y=0 求 f(0)，赋 y=−x 判奇偶，赋 x₂=x₁+(x₂−x₁) 判单调。
变式维度：f(x+y)=f(x)f(y)（指数型）、f(xy)=f(x)+f(y)（对数型），判断方法类似。
迁移维度：解抽象不等式 f(x)+f(x−1)<0，先合成一个 f，再用单调性去 f。
易错维度：赋值随意、忘记写“对任意 x 成立”。

答案：A

7命题 p：∀x∈(0,+∞)，x²+(3−a)x+1≥0。则 p 为真命题的一个充分不必要条件是？

知识点不等式恒成立、充分条件与必要条件。

思路与步骤

对 x>0，不等式两边同除以正数 x（不等号方向不变）：x+(3−a)+1x≥0。
移项，把含 a 的项单独放一边：a−3≤x+1x。
由基本不等式：x+1x≥2√x·1x=2，当且仅当 x=1x 即 x=1 时取等，所以右边的最小值是 2。
要“a−3≤右边”恒成立，只需 a−3≤2，即 a≤5。所以 p 真 ⟺ a≤5。
“充分不必要”：要选一个条件，它能推出 a≤5，但反过来推不出。
A：a≥1 推不出 a≤5（如 a=6 不满足），排除；
C：a≤5 与 p 等价，是充要条件，不是“充分不必要”，排除；
D：a≤6 推不出 a≤5，排除；
B：a≤4 ⇒ a≤5，且 a=5 满足 p 却不满足 a≤4，所以 a≤4 是充分不必要条件。

举一反三

方法维度：分离参数、配方法、基本不等式、判别式，四条路都能到 a≤5。
变式维度：∀ 改 ∃（取最值另一侧）；区间由 (0,+∞) 改为 [1,2]。
迁移维度：充分必要条件的集合观点——小范围推大范围，“小充分、大必要”。
易错维度：端点取等、把“充分不必要”做成“充要”。

答案：B

8可变化图点 A(1,1)、B(2,2)，抛物线 y=ax²+bx+1（a≠0）与线段 AB 相切，求 b²−2a 的取值范围。

知识点二次函数与直线相切、判别式、参数范围。

思路与步骤

先求线段 AB 所在直线：A(1,1)、B(2,2) 满足 y=x，且线段对应 x∈[1,2]。
“相切”就是抛物线与直线 y=x 只有一个公共点。联立：ax²+bx+1=x，整理得 ax²+(b−1)x+1=0。
相切 ⟺ 该二次方程有重根 ⟺ 判别式 Δ=0：Δ=(b−1)²−4a=0，得 a=(b−1)²4（因 a≠0，故 b≠1）。
切点横坐标（重根）x₀=−b−12a=1−b2a。把 a 代入：x₀=1−b(b−1)²/2=2·1−b(b−1)²=21−b。
切点必须落在线段上，即 1≤x₀≤2：1≤21−b≤2。
因为 x₀>0，所以 1−b>0，即 b<1（若 1−b<0 则 x₀<0，不可能是正数）。
左边：21−b≥1 ⇒ 1−b≤2 ⇒ b≥−1；
右边：21−b≤2 ⇒ 1−b≥1 ⇒ b≤0。
合并得 b∈[−1,0]。
化简目标式：b²−2a=b²−2·(b−1)²4=b²−(b−1)²2=2b²−(b²−2b+1)2=b²+2b−12。
令 φ(b)=b²+2b−12，b∈[−1,0]。φ(b)=(b+1)²−22，在 [−1,0] 上随 (b+1)² 增大而增大，故单调递增。
φ(−1)=1−2−12=−1；φ(0)=0+0−12=−12。

举一反三

方法维度：判别式 Δ=0；也可设切点 (t,t) 代入并令斜率相等。
变式维度：相交（Δ>0）、相离（Δ<0）；切点限定在线段上。
迁移维度：直线与圆、直线与抛物线的位置关系，都是“联立 + 判别式”。
易错维度：漏掉切点范围 x₀∈[1,2]、忘记 a≠0。

答案：C，取值范围 [−1, −½]

9下列说法正确的是？

知识点单调性、最值与值域、图像与 y 轴交点、奇函数性质。

思路与步骤

A：设 x₁<x₂<0，则 −x₁>−x₂>0。f 在 (0,+∞) 递减，输入越大输出越小，所以 f(−x₁)<f(−x₂)。记 g(x)=f(−x)，则 g(x₁)<g(x₂)，g 在 (−∞,0) 上递增。正确
B：最大值 2、最小值 0 只能说明 0≤f(x)≤2，即值域是 [0,2] 的子集。反例：f(x)=0（x<0），f(x)=2（x≥0），值域是 {0,2}，不是 [0,2]。错误
C：定义域为 ℝ，则 x=0 在定义域内，f(0) 是一个确定的数，图像与 y 轴恰交于 (0,f(0)) 一点。正确
D：f 是奇函数，对任意 x 有 f(−x)=−f(x)。令 x=0：f(0)=−f(0)，移项得 2f(0)=0，所以 f(0)=0。正确

举一反三

方法维度：判断错误用反例，判断正确用定义。
变式维度：最值与值域、奇偶与 f(0)、单调与对称，几组概念易混。
迁移维度：分段函数、抽象函数同样适用。
易错维度：把“最大值 2、最小值 0”当成“值域 [0,2]”。

答案：ACD

10下列等式恒成立的是？

知识点根式与分数指数幂互化、指数幂运算法则。

思路与步骤

A：√a²=|a|。当 a<0 时 |a|=−a≠a，所以不恒成立。错误
B：√a·∛a=a^1/2·a^1/3=a^1/2+1/3=a^5/6。又条件为 a∈ℝ，当 a<0 时 √a 在实数范围无意义，所以不能对一切 a 成立。错误
C：按同底幂乘除、指数相加减。a 的指数：23+12−16=4+3−16=1；b 的指数：14+12−34=1+2−34=0。所以结果为 a¹b⁰=a。正确
D：a<0，则 −a>0、−1a=1−a>0。所以 √−1/a=√1/(−a)=1√−a。两边乘 a：a√−1/a=a√−a。又 a=−(−a)=−√−a·√−a，所以 a√−a=−√−a。正确

举一反三

方法维度：根式化分数指数、同底合并、负指数转正。
变式维度：乘除混合、乘方开方混合、含 |a| 的化简。
迁移维度：指数函数比较大小（同底看单调、同指看图像）。
易错维度：√a²=|a| 不是 a；a<0 时偶次根号无意义。

答案：CD

11A={1,2,3,4}，B、C 是非空真子集且 B∩C=∅。若对任意 a∈A，存在 b∈B、c∈C 及 λ,μ∈{0,1} 使 a=λb+μc，称 (B,C) 为 A 的一组“基底集”。判断各选项组数。

知识点集合新定义、子集与集合运算（分类讨论）。

思路与步骤先翻译定义：λ,μ 只能取 0 或 1，所以 a=λb+μc 只可能是 0、b、c、b+c 这四种。因为 a∈A 都是正数，0 没用，所以 A 中每个元素都要等于某个 b∈B、或 c∈C、或 b+c。下面逐个固定 B 枚举 C：

A：B={3,4}，则 C⊆{1,2} 且非空。
3、4 由 B 提供；1 只能靠 c=1（b+c 最小是 3+1=4），故 1∈C；2 只能靠 c=2（b+c 最小为 4），故 2∈C。所以 C={1,2}，共 1 组。
B：B={2}，则 C⊆{1,3,4}。
1 必须 ∈C（2+c=1 不可能）；4 必须 ∈C（2+c=4 需 c=2，但 2∉C）；3 可由 2+1 得到（1∈C 已保证）。所以 C 必含 {1,4}，3 可去可留：C={1,4} 或 {1,3,4}，共 2 组。
C：B={1,3}，则 C⊆{2,4}。
2 必须 ∈C（1+c、3+c 都凑不出 2）；4 必须 ∈C（1+c=4 需 c=3∉C，3+c=4 需 c=1∉C）。所以 C={2,4}，只有 1 组，题称 2 组，错误。
D：B={1}，则 C⊆{2,3,4}。
2 必须 ∈C（1+c=2 需 c=1∉C）；3 可由 1+2 得到；4 需 4∈C 或 1+c=4 即 c=3∈C。所以 C 必含 2，再含 3 或 4：C={2,3}、{2,4}、{2,3,4}，共 3 组。

举一反三

方法维度：翻译定义 → 枚举 → 计数；也可画“元素—来源”表。
变式维度：(B,C) 改为无序对、λ,μ∈{0,1} 改为 {0,1,2}、二元改三元基底。
迁移维度：子集个数 2ⁿ、容斥原理。
易错维度：漏情况、把 (B,C) 与 (C,B) 重复计数。

答案：ABD

12f(x)= { 2^x, x>0 ; x+3, x≤0 }，若 f(a)+f(1)=3，求 a。

知识点分段函数求值。

思路与步骤

先算 f(1)：1>0，用第一段 f(x)=2^x，得 f(1)=2¹=2。
代入方程：f(a)+2=3，所以 f(a)=1。
分两种情况：
① 若 a>0，用 2^a=1=2⁰，得 a=0，与 a>0 矛盾，舍去；
② 若 a≤0，用 a+3=1，得 a=−2，且 −2≤0 成立。
所以 a=−2。

举一反三

方法维度：分段代入 + 回代检验。
变式维度：已知 f(a) 求 a、解分段不等式 f(x)>k、求图像交点。
迁移维度：绝对值函数 |x−1| 也是分段函数。
易错维度：解出 a 后忘记检验是否落在该段。

答案：−2

13可变化图f(x)=x²−(a−5)x+a 在 (0,+∞) 上递增，且 f(x)x 在 (0,2) 上递减，求 a 的范围。

知识点二次函数单调性、分式型（对勾函数）单调性。

思路与步骤

① 分析 f(x)：开口向上，对称轴 x=a−52。开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，要在整个 (0,+∞) 上递增，对称轴必须不在正半轴，即 a−52≤0，解得 a≤5。
② 化简 h(x)=f(x)x=x²−(a−5)x+ax=x−(a−5)+ax。
③ 用单调性定义判断：任取 0<x₁<x₂<2，计算
h(x₁)−h(x₂)=(x₁−x₂)+a(1x₁−1x₂)=(x₁−x₂)+a·x₂−x₁x₁x₂=(x₁−x₂)[1−ax₁x₂]。
④ 要在 (0,2) 上递减，需 h(x₁)>h(x₂)，即 h(x₁)−h(x₂)>0。因为 x₁−x₂<0，所以必须 1−ax₁x₂<0，即 a>x₁x₂ 对一切 0<x₁<x₂<2 成立。
⑤ 当 x₁,x₂→2 时 x₁x₂→4，故需 a≥4。（若 a<4，取靠近 2 的 x₁,x₂ 使 x₁x₂>a，则不递减。）
⑥ 两个条件取交集：a≤5 且 a≥4，即 4≤a≤5。

举一反三

方法维度：对称轴法、单调性定义作差、对勾函数性质。
变式维度：已知单调区间反求参数；由单调性比较 f(x₁)、f(x₂) 大小。
迁移维度：分式函数、复合函数“同增异减”。
易错维度：区间端点开闭、a 的正负影响不等号方向。

答案：[4,5]

14记 minA 为集合 A 中最小数。x,y>0，M=min{3x, 1y, 1x+y}，求 M 的最大值。

知识点max-min 问题、不等式放缩。

思路与步骤

M 是三者中最小的一个，所以 M≤3x、M≤1y、M≤1x+y 同时成立。
先证 M≤2。用反证：假设 M>2，则三项都 >2：
由 3x>2 得 x>23，所以 1x<32；
由 1y>2 得 y<12。
两式相加：1x+y<32+12=2，这与 1x+y>2 矛盾。所以 M≤2。
再说明 2 能取到：令 x=23、y=12，则
3x=3·23=2，1y=11/2=2，1x+y=32+12=2，三项都是 2，M=2。
所以 M 的最大值为 2。

举一反三

方法维度：反证放缩、令各项相等、数形结合。
变式维度：max{min…} 与 min{max…} 互换；三项改两项。
迁移维度：基本不等式求最值、恒成立问题。
易错维度：忘记验证等号能否取到。

答案：2

15（13 分）x>0，y>0。（1）比较 x³+y³ 与 xy²+x²y 的大小；（2）若 x+4y=1，求 1x+1y 的最小值。

知识点作差法比较大小、基本不等式（“乘 1 法”）。

思路与步骤

（1）作差：
x³+y³−(xy²+x²y)=x³−x²y+y³−xy²
=x²(x−y)+y²(y−x)=x²(x−y)−y²(x−y)
=(x−y)(x²−y²)=(x−y)²(x+y)。
因为 (x−y)²≥0，且 x>0、y>0 所以 x+y>0，故乘积 ≥0，即 x³+y³≥xy²+x²y。当且仅当 x=y 时取等。
（2）因为 x+4y=1，把 1x+1y 整体乘 1（即乘 x+4y）：
1x+1y=(1x+1y)(x+4y)
=1+4yx+xy+4=5+4yx+xy。
对后两项用基本不等式：4yx+xy≥2√4yx·xy=2√4=4。
所以原式 ≥5+4=9。等号当且仅当 4yx=xy，即 x²=4y²，得 x=2y。代入 x+4y=1：2y+4y=1，y=16，x=13。
所以最小值为 9。

举一反三

方法维度（一题多解）：
① 作差法：x³+y³−(xy²+x²y)=(x−y)²(x+y)≥0；
② 作商法：x,y>0 时两边都为正，作比 x³+y³xy²+x²y=(x+y)(x²−xy+y²)xy(x+y)=x²−xy+y²xy=xy+yx−1≥2−1=1，故 x³+y³≥xy²+x²y；
③ 基本不等式：比较 x²−xy+y² 与 xy，等价于 x²+y²≥2xy。
变式维度：a³+b³ 与 a²b+ab²；ab+ba≥2；x+1x 型最值。
求最值维度：“乘 1 法”（常数代换）：已知 ax+by=1，求 mx+ny 的最小值，把目标式乘 (ax+by) 展开，再用基本不等式。
易错维度：作商法要求两边同为正；基本不等式要看等号能否取到。

答案：（1）x³+y³≥xy²+x²y（x=y 取等）；（2）最小值为 9

16可变化图（15 分）投资 10 万元种甲、乙两种蔬菜。甲利润与投资额成正比（图1 过 (4,0.8)），乙利润与投资额的算术平方根成正比（图2 过 (4,1.6)）。（1）甲 1 万、乙 9 万，求利润；（2）如何分配使利润最大，最大多少？

知识点函数建模（正比例、根式型）、二次函数求最值。

思路与步骤

求解析式。设甲利润 y₁=k₁x，代入 (4,0.8)：0.8=4k₁，k₁=0.2，故 y₁=0.2x。
设乙利润 y₂=k₂√x，代入 (4,1.6)：1.6=k₂·√4=2k₂，k₂=0.8，故 y₂=0.8√x。
（1）甲 1 万、乙 9 万：利润 =0.2×1+0.8×√9=0.2+0.8×3=0.2+2.4=2.6（万元）。
（2）设甲投资 x 万元，则乙投资 (10−x) 万元，0≤x≤10。总利润 f(x)=0.2x+0.8√10−x。
换元去根号：令 t=√10−x，则 t≥0 且 x=10−t²，代入：
f=0.2(10−t²)+0.8t=2−0.2t²+0.8t=−0.2t²+0.8t+2。
配方：f=−0.2(t²−4t)+2=−0.2[(t−2)²−4]+2=−0.2(t−2)²+0.8+2=−0.2(t−2)²+2.8。
这是开口向下的二次函数，t=2 时取最大值 2.8。此时 10−x=2²=4，x=6，乙投 10−6=4。
所以甲投 6 万元、乙投 4 万元，最大利润 2.8 万元。

举一反三

方法维度：待定系数（正比例、根式）、换元化二次、配方法。
变式维度：反比例 y=k/x、二次型 y=ax²+bx、分段收费。
迁移维度：利润最大化、成本最小化、面积最大。
易错维度：忘记写定义域 0≤x≤10，或换元后 t 的范围。

答案：（1）2.6 万元；（2）甲投 6 万、乙投 4 万，最大利润 2.8 万元

17（15 分）A={x | 0<ax+1<5}，B={x | ½<2^x<4}。（1）a=−1 时求 A∩B、A∪B；（2）若 A∪B=A，求 a 的范围。

知识点指数不等式、集合运算、含参集合的包含关系。

思路与步骤

先解 B：½<2^x<4。把两端写成以 2 为底：12=2⁻¹，4=2²，所以 2⁻¹<2^x<2²。因 y=2^x 在 ℝ 上递增，得 −1<x<2，即 B=(−1,2)。
（1）a=−1：0<−x+1<5。
左边：0<−x+1 ⇒ x<1；
右边：−x+1<5 ⇒ −x<4 ⇒ x>−4。
所以 A=(−4,1)。
A∩B=(−4,1)∩(−1,2)=(−1,1)；A∪B=(−4,1)∪(−1,2)=(−4,2)。
（2）A∪B=A ⟺ B⊆A。A={x | −1<ax<4}，按 a 的正负讨论：
① a>0：不等式同除以正数 a，A=(−1a, 4a)。要 (−1,2)⊆A，需
−1a≤−1 ⇒ −1≤−a ⇒ a≤1；
4a≥2 ⇒ 4≥2a ⇒ a≤2。
所以 0<a≤1。
② a=0：A={x | −1<0<4}={x | 恒成立}=ℝ，B⊆ℝ 成立，所以 a=0 可以。
③ a<0：不等式同除以负数 a，不等号反向，A=(4a, −1a)。要 (−1,2)⊆A，需
4a≤−1 ⇒ 4≥−a ⇒ a≥−4；
−1a≥2 ⇒ −1≤2a ⇒ a≥−12。
所以 −12≤a<0。
三类合并：(0,1] ∪ {0} ∪ [−½,0)=[−½,1]。

举一反三

方法维度：指数不等式化同底、数轴求交并、分类讨论。
变式维度：A∪B=A ⇔ B⊆A；A∩B=A ⇔ A⊆B；补集关系。
迁移维度：含参二次不等式、含参绝对值不等式。
易错维度：漏 a=0、空集情形、端点开闭。

答案：（1）A∩B=(−1,1)，A∪B=(−4,2)；（2）a∈[−½,1]

18可变化图（17 分）f(x)= { |x−1|, 0≤x≤2 ; (½)^x−1, 2<x≤3 }，g(x)=a²+3a+5a²+1x−1。（1）画图并写单调区间；（2）若存在 x₁∈[0,3]、x₂∈(1,+∞) 使 g(x₂)=2f(x₁)，求 a；（3）0≤x₁<x₂<x₃≤3，m=(x₁+x₂)·x₂·f(x₃)，若 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)，求 m 的范围。

知识点分段函数图像与单调性、值域、二次/指数函数综合、方程与图像交点。

思路与步骤

（1）逐段画图：
0≤x≤2：f=|x−1|，是把 y=x−1 的负半段翻上去的 V 形，关键点 f(0)=1、f(1)=0、f(2)=1，[0,1] 递减、[1,2] 递增。
2<x≤3：f=(½)^x−1，底数 ½ 在 (0,1)，函数递减；x→2⁺ 时 f→(½)¹=½，x=3 时 f=(½)²=¼。
注意 x=2 处第一段给 f(2)=1，而右边极限是 ½，有跳跃。
结论：减区间 [0,1] 和 [2,3]；增区间 [1,2]。
（2）先求 2f(x₁) 的范围。f 在 [0,3] 上：第一段值域 [0,1]，第二段值域 [¼,½)，合起来 f([0,3])=[0,1]，所以 2f(x₁)∈[0,2]。
设 K=a²+3a+5a²+1，则 g(x)=Kx−1。分子 a²+3a+5=(a+32)²+114>0，分母 a²+1>0，所以 K>0，g 在 ℝ 上递增。
x₂∈(1,+∞) 时，g(x₂) 的范围是 (K·1−1, +∞)=(K−1, +∞)。
“存在 x₂ 使 g(x₂)=2f(x₁)”等价于 (K−1,+∞) 与 [0,2] 有公共点。因区间向右无限延伸，只需 K−1<2，即 K<3。
解 K<3：a²+3a+5a²+1<3。分母 a²+1>0，两边乘它：a²+3a+5<3a²+3。
移项：0<2a²−3a−2。因式分解 2a²−3a−2=(2a+1)(a−2)，所以 (2a+1)(a−2)>0，解得 a<−½ 或 a>2。
（3）设公共值 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)=k。
[0,2] 上的 V 形：水平线 y=k（0<k<1）与左右两支各交一点，给出两个点 x₁、x₂；第三个点只能在 (2,3] 上。而 (2,3] 上 f 的值域是 [¼,½)，所以 k∈[¼,½)。
求 x₁、x₂：x₁∈[0,1] 时 1−x₁=k ⇒ x₁=1−k；x₂∈[1,2] 时 x₂−1=k ⇒ x₂=1+k。所以 x₁+x₂=(1−k)+(1+k)=2。
x₃ 存在且唯一：由 (½)^x₃−1=k 及指数函数单调递减，对每个 k∈[¼,½) 恰有一个 x₃∈(2,3]，不影响下面 m 的计算。
代入 m：m=(x₁+x₂)·x₂·f(x₃)=2·(1+k)·k=2k²+2k。
φ(k)=2k²+2k 在 [¼,½) 上递增。
k=¼：φ=2·116+2·14=18+12=58；
k→½：φ→2·14+2·12=12+1=32（取不到）。

举一反三

方法维度：图像法、值域法、换元法（根式/指数）。
变式维度：“存在”与“任意”互换（值域有交 vs 值域包含）；方程根的个数；恒成立。
迁移维度：分段函数与绝对值、指数函数综合。
易错维度：跳跃点、空心点、区间开闭。

答案：（1）减：[0,1]、[2,3]，增：[1,2]；（2）a<−½ 或 a>2；（3）m∈[⅝, ³⁄₂)

19可变化图（17 分）若存在常数 a，使对任意 x∈ℝ 有 f(x+a)=f(−x)，称 f 具有“P(a) 性质”。（1）f(x)=x²+x+1 具有 P(a)，求 a；（2）f 具有 P(0)，x≤0 时 f(x)=mx²+2x，求 x∈[0,1] 时 f 的最小值；（3）f 既有 P(1) 又有 P(−1)，且 x∈[−½,½] 时 f(x)=x；方程 |f(x)|=kx 在 [0,+∞) 恰有 100 个实根，求 k 的范围。

知识点函数对称性的新定义、由对称性推周期性、含绝对值方程根的个数。

思路与步骤

（1）分别算两边。
左：f(x+a)=(x+a)²+(x+a)+1=x²+2ax+a²+x+a+1=x²+(2a+1)x+(a²+a+1)；
右：f(−x)=(−x)²+(−x)+1=x²−x+1。
两边对任意 x 相等，比较系数：一次项 2a+1=−1，得 a=−1；代回常数项 a²+a+1=1−1+1=1，与右边 1 一致。所以 a=−1。
（2）P(0) 即 f(x+0)=f(−x)，也就是 f(x)=f(−x)，f 是偶函数。
当 x≥0 时，−x≤0，可代已知段：f(x)=f(−x)=m(−x)²+2(−x)=mx²−2x。
所以问题变成：在 [0,1] 上求 f(x)=mx²−2x 的最小值。
配方：f=m(x²−2mx)=m[(x−1m)²−1m²]=m(x−1m)²−1m（m≠0）。
分类讨论：
① m>0，开口向上，顶点 x=1m。若 1m≤1（即 m≥1），最小值在顶点处，f=−1m；若 1m>1（即 0<m<1），顶点在区间右侧，函数在 [0,1] 上递减，最小值 f(1)=m−2。
② m=0：f=−2x，递减，最小值 f(1)=−2（也符合 m−2）。
③ m<0：开口向下，顶点 x=1m<0 在区间左侧，函数在 [0,1] 上递减，最小值 f(1)=m−2。
合并：m≥1 时最小值为 −1m；m<1 时最小值为 m−2。
（3）把新定义翻译成对称性。
P(1)：f(x+1)=f(−x)。令 t=−x，则 x=−t，得 f(1−t)=f(t)，即 f(t)=f(1−t)，图像关于直线 x=½ 对称。
P(−1)：f(x−1)=f(−x)。令 t=−x，则 x=−t，得 f(−t−1)=f(t)，即 f(t)=f(−t−1)，图像关于直线 x=−½ 对称。
由两条对称轴推周期：f(t)=f(1−t) 且 f(t)=f(−1−t)，所以 f(1−t)=f(−1−t)。再令 u=1−t，则 t=1−u，−1−t=−1−(1−u)=u−2，得 f(u)=f(u−2)。所以 f 的周期 T=2。
求 |f| 的形状：已知 x∈[−½,½] 时 f(x)=x。由关于 x=½ 对称，x∈[½,³⁄₂] 时 f(x)=f(1−x)=1−x。于是 f 在 [−½,³⁄₂] 上是一条从 −½ 升到 ½、再降到 −½ 的“三角波”，周期 2。取绝对值后，|f| 变成周期为 1 的三角波：零点在整数 0,1,2,…，峰值 ½ 在半整数 12,32,…
数交点。方程 |f(x)|=kx 是三角波与过原点的直线 y=kx 的交点。
若 k≤0，直线在 x 轴下方或贴着 x 轴，最多只有 x=0 一个根，不可能有 100 个，所以 k>0（且需 k<1 才有两交点）。
看第 n 段 [n,n+1]（n=0,1,2,…）：
上升段 [n,n+½]：|f|=x−n。解 x−n=kx ⇒ x(1−k)=n ⇒ x=n1−k。要落在 [n,n+½]，等价于 n+½≤12k。
下降段 [n+½,n+1]：|f|=n+1−x。解 n+1−x=kx ⇒ x=n+11+k。同样要求 n+½≤12k。
所以：n+½<12k 时该段有 2 个根；取等时有 1 个（相切于峰顶）；大于时 0 个。
要恰有 100 个根：需要前 50 段（n=0,1,…,49）各 2 个，共 100 个；第 50 段（n=50）不能有根，也不能相切。
n=49：49+½<12k ⇒ 49.5<12k ⇒ k<199；
n=50：50+½>12k ⇒ 50.5>12k ⇒ k>1101。
验证端点：k=199 时第 49 段相切，只有 49×2+1=99 个根；k=1101 时第 50 段相切，有 50×2+1=101 个根，都不合。所以取开区间。

举一反三

方法维度：翻译对称性、由双对称推周期、数形结合数根。
变式维度：只有 P(a) 求 a；双对称求周期；|f(x)|=kx 根个数随 k 变化。
迁移维度：周期函数、对称函数、含绝对值方程。
易错维度：端点数根、相切算 1 个根、开闭区间。

答案：（1）a=−1；（2）m≥1 时最小值 −1/m，m<1 时最小值 m−2；（3）k∈(1/101, 1/99)